
Lau was de jongste van vier kinderen in het gezin van Amsterdamse Laurens Janszen senior en de Walcherse Pieternella Bestelink; vader was smid en uitvinder. Eerst dreef hij een smederij in Noordwijk, daarna samen met Dik Wurfbain een constructiewerkplaats in Amsterdam, maar beide ondernemingen waren voor Laurens sr niet succesvol en zo belandde hij als amanuensis op de gemeentelijke hbs voor meisjes, aan de Keizersgracht. Lau was zestien toen zijn vader, na jaren sukkelen op 58-jarige leeftijd overleed; moeder Pieternel was toen al werkzaam als coupeuse. Ze was in dienst bij
Maison Hirsch&Cie aan het Leidseplein, daarna begon ze voor zichzelf met een naaiatelier aan huis, voor welstandige dames en voor het toneel.
Eerst woonde het gezin in de Commelin-straat. Als je toentertijd die straat uitliep en de Linnaeusstraat overstak belandde je in het nieuwe Oosterpark en op de er naast gelegen oude Ooster-begraafplaats, die al jaren gesloten was. Voor kleine Lau een ideaal terrein om te avonturieren, tussen vervallen grafstenen, verwaarloosde bomen en de onkruidachtige begroeiing. Later verhuisde de familie over de Singelgracht naar het tweede korte straatje naast de Muiderpoort, de Alexanderstraat. Zo raakte hij bevriend met Leo Kaas, die daar ook pas was komen wonen, om de hoek op de kade. Lau sleepte Leo mee naar zijn speeldomein, die gesloten begraafplaats beheerd door een oude bewaker. Iedere kwajongen werd door hem weggestuurd, maar niet Leo en Lau, die waren er altijd welkom. Urenlang zaten ze in hun zelfgebouwde schuilhut de vele vogels te observeren en vertelde de oude baas van alles over die vogels en de planten die er in dat paradijsje groeiden.
Later toen ze iets groter waren met allebei een fiets, werd hun wereld wijder. Ze maakten tochten over de Oranjesluizen naar Waterland en de ander kant uit helemaal naar 's-Gravenland. Moerasorchis in de weilanden bij Holysloot, Aalscholvers in de Zuiderzee, IJsvogeltjes in de vijvers van de Gooise buitenplaatsen, Zwanenbloemen in de sloten bij Nigtevecht, Futen in het Abcoudermeer, ze zagen het allemaal; zochten thuis de namen op in de
Flora van Heimans en Thijsse, en op de plaatjes van Jan Voerman in de
Verkade albums, die ze driftig verzamelden.
Zestien jaar was Lau toen hij naar de Kweekschool ging en meteen in de tweede klas terecht kon; Leo vertrok naar de Hogere Textielschool in Enschede, Leo's vader deed in textiel, vandaar. Ze stuurden elkaar briefkaartjes met boodschappen, zoals deze van Leo aan Lau in 1923:
'Geef mijn groeten aan Fam. Mees, Torenvalk, Boomklever, de Goudhaantjes, Spechten, IJsvogels en allen die je tegenkomt. Hièr heb ik een IJsvogel gezien, maar nu leek hij lang niet zoo fabelachtig mooi.'
In een van de weekenden dat Leo weer thuis in Amsterdam was, troonde hij Lau mee naar een bijeenkomst van de
Nederlandsche Bond van Abstinent Studeerenden; een kleine idealistische club die in haar hoogtijdagen rond 1930, zo'n 1.500 leden telde.
Het was niet alleen de geheelonthouding
(abstinentie) dat deze studerenden verbond, het was ook
'een beslist nee-zeggen tegen sleur, conventie, slechte gewoonte, vulgariteit en decadentie'. Alles viel op zijn plaats voor de jonge vrienden: de liefde voor de natuur en het buiten zijn, de progressiviteit en de principes van soberheid, reinheid, en gemeenschapszin. Lau werd al snel vegetariër en kon zijn ideeën en idealen scherpen aan die van zijn leeftijdgenoten, de meesten van hen ook kweekschoolleerlingen. Al snel hadden Lau en Leo een landelijke vriendenkring, waarmee ze op pad ging en kampeerden, ook in het Duitsland van de jaren dertig.
Zo leerde Lau, Mathilde Bouman kennen, een jonge onderwijzeres opgeleid aan de Apeldoornse Kweekschool voor meisjes, die voor de klas stond in Amsterdam en secretaris was van NBAS-afdeling Amsterdam Zuid. Daar, op een bijeenkomst van de drie hoofdstedelijke afdelingen ontmoetten ze elkaar voor het eerst, nog geen jaar later waren ze verloofd.